有限视界参数化流形及其在非线性抛物型偏微分方程次优控制中的应用

本文提出了一种基于有限视界参数化流形 (PMs) 的新方法，用于设计针对抛物型非线性偏微分方程 (PDEs) 最优控制问题的低维次优控制器。给定有限视界 $[0,T]$ 和 PDE 的低模截断，PM 提供了由受控低模对非受控高模的近似参数化，从而在应用该参数化时以 $L^2$ 意义减少了未解释的高模能量。通过应用高模的回拉近似方法 (Chekroun, Liu, and Wang, 2013, http://arxiv.org/pdf/1310.3896v1.pdf) 推导了此类 PM 的解析公式。这些公式允许有效推导降阶 ODE 系统，旨在模拟受控状态变量低模截断的演化，其中高模部分由应用于低模的 PM 函数近似。推导了所得基于 PM 的低维次优控制器 $u_R^\ast$ 与最优控制器 $u^*$ 之间的先验误差估计。这些估计表明，$u_R^\ast$ 与 $u^*$ 的接近程度主要取决于两个因素：(i) 给定 PM 的参数化缺陷，分别关联于 $u_R^\ast$ 和 $u^*$；以及 (ii) 由 $u_R^\ast$ 或 $u^*$ 驱动的 PDE 解中高模所保留的能量。针对与 Burgers 型方程相关的各种最优控制问题，数值评估了此类基于 PM 的次优控制器的实际性能。数值结果表明，只要相关的参数化缺陷和高模中保留的能量足够小，基于 PM 的降阶系统即可设计出性能良好的次优控制器，这与严格理论结果一致。