具有阿贝尔余径向与 Cartan 矩阵的有限维点 Hopf 代数

在先前的工作 \cite{AS2} 中，我们展示了如何将一个余径向为 $\k\Gamma$ 的点 Hopf 代数 A，对应到 $\Gamma$ 上的 Yetter-Drinfeld 模范畴 $_{\Gamma}^{\Gamma}\Cal{YD}$ 中的一个 braided 严格分次 Hopf 代数 R。本文考虑 A 的一个进一步不变量，即由素元空间 V 生成的 R 的子代数 R'。这类代数自 Nichols 的开创性工作起便已知。结果表明，R' 完全由辫化结构 c:V\otimes V \to V \otimes V 决定。记 R' = B(V)。我们进一步假设 $\Gamma$ 为有限阿贝尔群。则 c 由一个元素均为单位根的矩阵 (b_{ij}) 给出；我们还假设它们具有奇阶。我们为这些辫化结构引入“Cartan 型辫化”的概念，并将一个广义 Cartan 矩阵附于一个 Cartan 型辫化。我们证明：若其对应矩阵为有限 Cartan 型，则 B(V) 是有限维的，并给出其逆命题成立的充分条件。作为推论，我们得到许多新的点 Hopf 代数族。当 $\Gamma$ 是某个素数阶群若干拷贝的直和时，条件成立且任意矩阵均为 Cartan 型。作为示例，我们分类了所有余径向分次、在一次生成且余径向具有奇素数维 p 的有限维点 Hopf 代数。我们也刻画了阶为 p^4、在一次生成的余径向分次点 Hopf 代数。