通过共轭优化寻找非凸全二次问题最优值函数的二次下估计
最优化与控制
2024-10-01 v1
摘要
将优化问题的部分建模为依赖于顶层决策变量的 optimal value function 是优化中的常见做法，也是诸如Benders分解等方法的 essential 组成部分。它常常允许将计算复杂度与下层问题中定义最优值函数的特殊结构分离开来。如果该问题为凸问题，duality 理论可用于构建最优值函数在其上的分段仿射模型，以便对顶层问题进行有效优化。在本文中，我们关注的是非必然为凸的全二次问题(也称为二次受限二次问题, QCQP)的 optimal value function，因此在不引入通常难以量化的松弛误差的情况下无法应用duality 理论。可以通过采用 underlying QCQP的共轭重构来规避这一问题。我们研究了两种参数化方法。第一种方法导致一个在最优值函数的凸包与其下半连续包之间的夹层的共轭特征下的下估计。该下估计的对偶允许我们导出仿射下估计。第二种参数化产生另一种对 optimal value function本身的特征描述，除了原始版本外，还有一个精确的对偶对应。从后者，我们可以导出 optimal value function的凸和非凸二次下估计。事实上，我们可以证明，任何二次下估计都与某种意义上的对偶可行解相关联。
引用
@article{arxiv.2409.20355,
title = {Finding quadratic underestimators for optimal value functions of nonconvex all-quadratic problems via copositive optimization},
author = {Markus Gabl and Immanuel Bomze},
journal= {arXiv preprint arXiv:2409.20355},
year = {2024}
}