Dyson-Schwinger 方程中的滤子：系统地进行次领头对数展开

Dyson-Schwinger 方程确定了量子场论中的 Green 函数 $G^r(\alpha,L)$。其解是关于耦合常数 $\alpha$ 和所选振幅 $r$ 的外标度参数 $L$ 的三角级数，其中 $L$ 的阶数受耦合阶数的限制。微扰论计算 $\alpha$ 的前几阶。另一方面，Dyson-Schwinger 方程确定了次领头对数展开 $G^r(\alpha,L) = 1 + \sum_{j=0}^\infty \sum_{\mathcal{M}} p_j^{\mathcal{M}}\alpha^j \mathcal{M}(u)$。$\sum_{\mathcal{M}}$ 对 $u = \alpha L/2$ 中的有限个函数 $\mathcal{M}$ 求和。领头对数来自 $j=0$ 处的平凡表示 \mathcal{M}(u) = \begin{bsmallmatrix}\bullet\end{bsmallmatrix}(u)，且 p_0^{\begin{bsmallmatrix}\bullet\end{bsmallmatrix}} = 1。所有非领头对数均按 $\alpha^j$ 幂次的抑制进行组织。我们描述了一种代数方法，利用微扰论中前 $(j+1)$ 项及其滤子的知识，推导所有次领头对数项。这意味着计算函数 $\mathcal{M}(u)$ 和周期 $p_j^\mathcal{M}$。在本文的第一部分，我们研究了 Dyson-Schwinger 方程的结构，并开发了一种过滤其解的方法。应用重整化 Feynman 规则将每个过滤项映射到对数展开中 $\alpha$ 和 $L$ 的特定幂次。在此基础上，第二部分推导了次领头对数展开。我们的方法具有普适性。在此，我们以 Yukawa 理论中的传播子和量子电动力学中的光子自能为例进行说明。读者可将我们的方法应用于可重整化量子场论中出现的任何（组）Dyson-Schwinger 方程。