随机积分的 Fatou 极限

随机积分的收敛性对于随机分析至关重要，尤其是在数学金融的应用中，它们用于对冲与自融资策略相关的收益。然而，$(X^{n})_{n=1}^{\infty}$ 的 Fatou 收敛——一个因其对紧致性原理的适用性而引入的概念——对于固定的被积项 $Y$，关于 It\^o 积分序列 $\left(\int_{0}^{\cdot}YdX^{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ 所能提供的信息甚少。在有界条件下，我们找到了 $(X^{n})_{n=1}^{\infty}$ 的凸组合 $(\widetilde{X}^{n})_{n=1}^{\infty}$，其 Fatou 极限为 $\widetilde{X}$，使得对于所有连续半鞅 $Y$，$\left(\int_{0}^{\cdot}Yd\widetilde{X}^{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ 以类似于 Fatou 的意义收敛到 $\int_{0}^{\cdot}Yd\widetilde{X}$。该结果是精确的，即 $Y$ 的连续性不能放宽为半鞅的左极限过程。