强上鞅与非负鞅的极限

给定一个起始于 $M^n_0=1$ 的非负鞅序列 $(M^n)^{\infty}_{n=1}$，我们找到一个凸组合序列 $(\widetilde{M}^n)^{\infty}_{n=1}$ 和一个极限过程 $X$，使得对于所有有限停时 $\tau$，$(\widetilde{M}^n_{\tau})^{\infty}_{n=1}$ 依概率收敛于 $X_{\tau}$。该极限过程 $X$ 是一个可选强上鞅。一个反例表明，在此陈述中依概率收敛不能被几乎处处收敛所替代。我们还给出了可选强上鞅序列 $(X^n)^{\infty}_{n=1}$、其左极限 $(X^n_-)^{\infty}_{n=1}$ 及其随机积分 $(\int\varphi \,dX^n)^{\infty}_{n=1}$ 的类似收敛结果，并解释了其与 Fatou 极限概念的关系。