利用彩色决策预言机的更快计数与采样算法

在这项工作中，我们在查询复杂度框架下考虑超图 $\mathcal{H}(U(\mathcal{H}),\mathcal{F}(\mathcal{H}))$ 中的 $d$-{\sc Hyperedge Estimation}（d-超边估计）与 $d$-{\sc Hyperedge Sample}（d-超边采样）问题，其中 $U(\mathcal{H})$ 表示顶点集，$\mathcal{F}(\mathcal{H})$ 表示超边集。对超图的预言机访问称为 {\sc Colorful Independence Oracle}（{\sc CID}，彩色独立预言机），它输入 $d$ 个（非空）两两不相交的顶点子集 $A_1,\ldots,A_d \subseteq U(\mathcal{H})$，并回答 $\mathcal{H}$ 中是否存在一条超边在每个 $A_i, i \in \{1,2,\ldots,d\}$ 中恰有一个顶点。带有 {\sc CID} 预言机访问的 $d$-{\sc Hyperedge Estimation} 与 $d$-{\sc Hyperedge Sample} 问题本身作为组合问题十分重要。此外，Dell {\it{et al.}}~[SODA '20] 确立了若干组合优化问题的{\em 决策}与{\em 计数}复杂度可抽象为带有 {\sc CID} 预言机访问的 $d$-{\sc Hyperedge Estimation} 问题。本文的主要技术贡献是一种估计 $m= \lvert {\mathcal{F}(\mathcal{H})}\rvert$ 的算法，以 $\widehat{m}$ 满足 { $$\frac{1}{C_{d}\log^{d-1} n} \;\leq\; \frac{\widehat{m}}{m} \;\leq\; C_{d} \log ^{d-1} n .$$ 且至多使用 $C_{d}\log ^{d+2} n$ 次 {\sc CID} 查询，其中 $n$ 表示超图 $\mathcal{H}$ 中的顶点数，$C_{d}$ 为仅依赖于 $d$ 的常数}。我们的结果结合 Dell {\it{et al.}}~[SODA '21] 的框架，意味着对若干基本问题给出了改进的界。