Farey 树与 Frenkel-Kontorova 模型

我们精确求解了势为 $V(u)= -\frac{1}{2} |\lambda|(u-{\rm Int}[u]-\frac{1}{2})^2$ 的 Frenkel-Kontorova 模型。对于给定的 $|\lambda|$，存在正整数 $q_c$，使得对于几乎所有张力 $\sigma$ 的值，基态构型的缠绕数 $\omega$ 是 $q_c$ 级 Farey 树中的有理数。对于固定的 $\omega=p/q$，存在临界 $\lambda_c$，此时发生一级相变。该相变可理解为按 Farey 树所规定的方式一个大分子解离为两个较小分子。当两种尺寸的分子共存时，在 $\sigma$ 的临界值处发生一种“公度-无公度”转变。通常意义上的“孤子”不存在，但会引起一种尺寸的分子向另一种尺寸的转化。