调和映射的远场展开及向列相悬浮液中的静电类比

对于光滑有界区域$G\subset\mathbb{R}^3$，我们考虑映射$n\colon\mathbb R^3\setminus G\to\mathbb S^2$，在满足$n(x)\approx n_0$（当$|x|\to\infty$）的$\mathbb S^2$值映射中最小化能量$E(n)=\int_{\mathbb R^3\setminus G}|\nabla n|^2 +F_s(n_{\lfloor\partial G})$。这是浸入向列相液晶中粒子$G$的模型。表面能$F_s$描述粒子的锚定性质，可相当一般。我们证明此类极小化映射$n$具有按$1/r$幂的渐近展开。进一步，通过将首项$1/r$项与关于$n_0$的极小能量梯度相关联，我们证明对几乎所有$n_0\in\mathbb S^2$，其首项$1/r$项由远场条件$n_0$唯一确定。我们在物理驱动的情景中推导了该关系的多种推论：当粒子$G$的取向相对于给定的远场排列$n_0$稳定时；以及当粒子$G$具有某些旋转对称性时。特别地，这些推论证实了物理文献中某些用以通过所谓静电类比描述向列相悬浮液的近似的合理性。