二元序列族的族复杂度与互相关测度

我们研究了二元序列族的两个伪随机性测度之间的关系：Ahlswede 等人于 2003 年引入的族复杂度以及 Gyarmati 等人最近引入的互相关测度。更确切地说，我们根据其对偶族 $(e_{1,n},\ldots,e_{F,n})\in \{-1,+1\}^F$ ($n=1,\ldots,N$) 的互相关测度，估计长度为 $N$ 的二元序列族 $(e_{i,1},\ldots,e_{i,N})\in \{-1,+1\}^N$ ($i=1,\ldots,F$) 的族复杂度。我们将此结果应用于模 $p$ 下具有不可约二次多项式且中间系数为 0 的 Legendre 符号序列族，即对于 $i=1,\ldots,(p-1)/2$，有 $e_{i,n}=\left(\frac{n^2-bi^2}{p}\right)_{n=1}^{(p-1)/2}$，其中 $b$ 是模 $p$ 的二次非剩余，表明该族及其对偶族在相当高的阶数下均具有较大的族复杂度和较小的互相关测度。