压缩感知中区间传递算法的失效分析

本文中，我们对用于压缩感知的区间传递算法（IPA）进行了完整的失效分析；IPA 是一种从少量线性测量 $\boldsymbol{y}$ 中重建 $k$-稀疏非负 $n$ 维实信号 $\boldsymbol{x}$ 的高效迭代算法。具体地，我们证明了 IPA 无法从 $\boldsymbol{y}$ 中恢复 $\boldsymbol{x}$ 当且仅当它无法恢复一个具有相同支撑的对应二值向量，并且测量矩阵中非零值的位置才对恢复成功与否起重要作用。基于该观察，我们引入 termatiko 集，并证明 IPA 无法完全恢复 $\boldsymbol x$ 当且仅当 $\boldsymbol x$ 的支撑包含一个非空的 termatiko 集，从而给出了 IPA 失效集的完整（图论）刻画。给出了两种用于定位小尺寸 termatiko 集的启发式方法。对于无 $4$-圈的二值列正则测量矩阵，我们给出了 termatiko 距离（定义为非空 termatiko 集的最小尺寸）的下界。对于由阵列 LDPC 码校验矩阵构造的测量矩阵，对列重不超过 $7$ 的情形给出了 termatiko 距离的上界，而对列重 $3$ 则给出了精确的 termatiko 距离及其重数。接着，我们证明向测量矩阵添加冗余行不会创建新的 termatiko 集，而是可能移除 termatiko 集从而改善性能。给出了一种高效搜索此类冗余行的算法。最后，我们展示了针对不同具体测量矩阵以及基于原图（protograph）的测量矩阵集的数值结果，以及 IPA 性能的仿真结果，显示了小尺寸 termatiko 集的影响。