面约化与部分多面性

我们提出 FRA-Poly，一种针对锥线性规划的面约化算法 (FRA)，它对锥中多面体面的存在敏感。FRA 与 FRA-Poly 的主要目标相同，即寻找包含可行域的极小面并检测不可行性，但 FRA-Poly 将多面体约束分开处理。这一思想使得在存在大量线性不等式约束时，迭代次数大幅减少。FRA-Poly 的最坏情况迭代次数用“到多面性的距离”量表示，并在温和条件下给出优于 FRA 的界。特别地，在双非负锥情形下，FRA-Poly 给出的最坏情况界为 $n$，而经典 FRA 为 $\mathcal{O}(n^2)$。作为可能具有独立兴趣的结果，我们证明了 Gordan-Stiemke 定理的一个变体以及考虑部分多面性的恰当分离定理。我们讨论了最优面约化策略以及一个迫使 FRA 执行多步的实例。我们还给出了若干应用。特别地，我们将使用 FRA-Poly 改进 Liu 和 Pataki 近期获得的关于弱不可行问题中出现的某些仿射子空间维数的界。