通过随机游走展开研究量子图上热容的 Faber-Krahn 不等式

我们研究了量子图上的热容，并探讨 Rayleigh-Faber-Krahn 不等式的类似物是否成立。这意味着在等体积的图中，时刻 $T$ 的热容将由区间（经典 Rayleigh-Faber-Krahn 不等式中球的图类似物）最大化。我们证明这在极值时间成立，即在较小和较大的时间。为此，我们采用了两种互补的方法：在大时间区域，我们依赖谱理论方法，使用 Mercer 定理；而小时间区域则通过随机游走方法处理，使用 Feynman-Kac 公式和度量图上的 Brown 运动。特别地，在证明后者时，我们给出了热容作为（离散）随机游走期望返回时间的正线性组合的新表达式——与之前可用的方法（如著名的 Roth 公式）相比，这一表述似乎提供了额外的见解，并且对我们的证明至关重要。Rayleigh-Faber-Krahn 不等式对于度量图上的热容在所有时间是否成立的问题仍然悬而未决。