划分的合并与投影的提取

我们研究从 somewhere-random 源提取随机性,以及相关的组合现象:Shearer 引理在投影上的划分类比。somewhere-random 源是一个元组 $(X_1, \ldots, X_t)$,由(可能相关的) $\{0,1\}^n$ 值随机变量 $X_i$ 组成,其中对某个未知的 $i \in [t]$,保证 $X_i$ 均匀分布。提取合并器(extracting merger)是一种带种子的装置,以 somewhere-random 源为输入并输出近乎均匀的随机比特。我们研究常数 $t$ 与常数误差下提取合并器所需的种子长度。我们表明:$\cdot$ 正如标准提取器的情况,即使仅输出 1 比特的无种子提取合并器也不存在。$\cdot$ 不同于标准提取器的情况,确实可能存在仅使用常数种子而输出常数比特的提取合并器。此外,随机选取合并器对此目的并不奏效!$\cdot$ 尽管如此,正如标准提取器的情况,一个提取出大部分熵(即具有 $\Omega$$(n)$ 输出比特)的提取合并器必须有 $\Omega$$(\log n)$ 种子。这是我们工作的主要技术结果,由 Radhakrishnan 和 Ta-Shma 提取器图论方法的二阶矩加强所证明。相比之下,凝聚合并器(其输出仅要求具有高最小熵)的种子长度/输出长度权衡可完全用标准凝聚器解释。受此考虑启发,我们还提出组合学中一类新的基本问题:Shearer 引理的划分类比。我们给出该方向的基本结果;特别地,我们证明在 $[0,1]^3$ 三维立方体的任意划分为两部分时,其中一部分具有面积至少为 $3/4$ 的轴平行二维投影。