重数方法的扩展及其在Kakeya集和合并器中的应用

我们扩展了“重数方法”，得到了以下在组合学和随机性提取中感兴趣的结果。(A) 我们证明$\F_q^n$中的每个Kakeya集（一个在每个方向上都包含一条直线的点集）的大小必须至少为$q^n/2^n$。对于每个$n$，当$q \to \infty$时，这个界在$2 + o(1)$因子内是紧的，而之前的界在$n$上是指数级的偏差。(B) 我们给出了改进的随机性提取器和“随机性合并器”。合并器是带种子的函数，它输入$\Lambda$个（可能相关的）随机变量（位于$\{0,1\}^N$中）和一个短的随机种子，并输出一个位于$\{0,1\}^N$中的随机变量，当$\Lambda$个输入变量中有一个均匀分布时，该输出在统计上接近具有$(1-\delta) \cdot N$的熵。我们所需的种子长度仅为$(1/\delta)\cdot \log \Lambda$比特，这显著改进了之前的合并器构造。(C) 利用我们的新合并器，我们展示了如何构造使用对数长度种子同时提取源最小熵的$1 - o(1)$部分的随机性提取器。正如先前工作中使用的，“重数方法”通过构造在子集中每个点上以高重数消失的、次数相对较低的内插多项式来分析有限域上向量空间的子集。该方法的典型用法是证明内插多项式也在子集外的某些点上消失，然后使用零点的简单界来完成分析。我们对这一技术的改进是，我们证明在适当条件下，内插多项式在集合外也以高重数消失。这一新颖之处导致了显著更紧的分析。