非线性动态规划灵敏度分析中的指数衰减

本文研究具有非线性动力学与目标函数的离散时间动态规划对初始条件与参考参数扰动的灵敏度。在对问题数据作一致能控性与有界性假设下，我们证明最优状态与控制在时间 $k$ 处的方向导数 $\boldsymbol{x}^*_{k}$ 与 $\boldsymbol{u}^*_{k}$ 相对于时间 $i$ 处参考信号 $\boldsymbol{d}_{i}$ 的方向导数，将关于 $|k-i|$ 呈指数衰减，且衰减率 $\rho$ 与时域长度无关。关键技术步骤是证明 Verschueren 等人提出的凸化方法的一种变体可应用于 KKT 条件，并得到一个数据一致有界的凸二次规划。进而可进一步采用 Riccati 技术获得该灵敏度结果，其源于方向导数是与 KKT 条件本身结构相似的二次规划之解这一观察。我们借助一个小型非线性、非凸动态规划的数值实验验证了所得结论。