具有随机系数的一般线性二次最优随机控制的动态规划

我们关注具有随机系数的线性二次最优随机控制问题。在适当条件下，我们证明值场 $V(t,x,\omega), (t,x,\omega)\in [0,T]\times R^n\times \Omega$ 关于 $x$ 是二次的，并具有如下形式：$V(t,x)=\langle K_tx, x\rangle$，其中 $K$ 是一个本质有界的非负对称矩阵值适应过程。利用动态规划原理 (DPP)，我们证明 $K$ 是一个连续半鞅，形式为 $$K_t=K_0+\int_0^t \, dk_s+\sum_{i=1}^d\int_0^tL_s^i\, dW_s^i, \quad t\in [0,T]$$ 其中 $k$ 是有界变差的连续过程，且 $$E\left[\left(\int_0^T|L_s|^2\, ds\right)^p\right] <\infty, \quad \forall p\ge 2;$$ 并且 $(K, L)$（其中 $L:=(L^1, \cdots, L^d)$）是关联的后向随机 Riccati 方程 (BSRE) 的解，该方程的生成元关于未知过程对高度非线性。我们还通过一种自包含的方式，利用局部配方法证明了一般 BSRE 解的唯一性。一般 BSRE 适应解的存在性和唯一性最初由法国数学家 J. M. Bismut (1976, 1978) 提出。作者 (2003) 曾通过随机最大值原理，从关联随机 Hamilton 系统的随机流视角解决了该问题。本文是其姊妹篇，并通过 DDP 给出了一般 BSRE 的{\it 第二个但更全面}的适应解。进一步扩展到跳扩散控制系统和一般非线性控制系统是可能的。