探索射影范图

射影范图 $\text{NG}(q,t)$ 为完全二部图 $K_{t,s}$（其中 $s>(t-1)!$）的图兰数提供了紧构造。本文确定了它们的自同构群并探索了其小 subgraphs。为此，我们给出了涉及有限域上范数的某些方程系统解数的相当精确的估计。确定最大的整数 $s_t$，使得射影范图 $\text{NG}(q,t)$ 对所有足够大的素数幂 $q$ 都包含 $K_{t,s_t}$，是一个具有重要广泛一般意义的重要开放问题。已知最佳界 $t-1\leq s_t \leq (t-1)!$ 在 $t\geq 4$ 时相差甚远。本文我们证明 $\text{NG}(q,4)$ 确实包含（许多）$K_{4,6}$，对任意不被 $2$ 或 $3$ 整除的素数幂 $q$ 均成立。这极大地扩展了 Grosu 的近期工作，使用了完全不同的方法。在此过程中我们还计数了任意固定 $3$-退化子图的拷贝数，并发现射影范图关于该参数是拟随机的。其中一些结果也扩展了 Alon 和 Shikhelman 关于广义图兰数的工作。最后我们还给出了 $\text{NG}(q,4)$ 无 $K_{4,7}$ 的一个新的、更初等的证明。