多（m > 1）因变量情形牛顿自由粒子系统的显式微分刻画

1883 年，作为早期结果，Sophus Lie 建立了解析二阶常微分方程 $y_{xx} = F(x,y,y_x)$ 通过点变换 $(x,y) \to (X(x,y), Y(x,y))$ 等价于牛顿自由粒子方程 $Y_{XX} = 0$ 的显式充要条件。这一作为二阶解析常微分方程深层群论分类之预备的结果，后来由 S. Lie 的法国学生 Arthur Tresse 于 1896 年近似完成。在本文中，我们紧密遵循 S. Lie 的原始证明策略（我们首先详尽地阐述并还原该策略），将此显式刻画推广到多个二阶常微分方程的情形。令 $K=R$ 或 $C$，或更一般地任何装备了赋值的零特征域，使得 $K$-解析函数有意义。令 $x \in K$，令 $m > 1$，令 $y := (y^1, ..., y^m) \in K^m$，并令 $y_{xx}^j = F^j(x,y,y_x^l), j = 1,...,m$ 为一组 $m$ 个解析二阶常微分方程，一般为非线性。我们提供了该系统在点变换 $(x, y^1, ..., y^m) \to (X(x,y), Y^1(x,y),..., Y^m(x, y))$ 下等价于牛顿自由粒子系统 $Y_{XX}^1 = ... = Y_{XX}^m = 0$ 的显式充要条件。引人注目的是，我们所得到的（复杂）微分系统在 $m > 1$ 时为一阶，而在 S. Lie 原始情形 $m = 1$ 时为二阶。