扩展 Belnap：一类新默认双格的对偶理论

双格提供了一种代数工具，用以同时刻画知识与真值。它们由 Belnap 于 1977 年在一篇题为《计算机应如何思考》的论文中引入。Belnap 主张，计算机不应使用仅有“真”($t$) 与“假”($f$) 两个值的逻辑，而应使用另含“矛盾”($\top$) 与“无信息”($\bot$) 两个值的逻辑。所得结构配备两个格序，即知识序与真值序，故称为双格。优先默认双格不仅包含“真”($t_0$)、“假”($f_0$)、“矛盾”与“无信息”等值，还包含默认值的指标族 $t_1, \dots, t_n$ 与 $f_1, \dots, f_n$，以同时建模知识程度与真值。我们关注一类新的优先默认双格：$\mathbf J_n$，其中 $n \in \omega$。双格 $\mathbf J_0$ 恰为 Belnap 的开创性例子。我们处理优先默认双格的数学方面而非逻辑方面。我们对由 $\mathbf J_n$ 生成的拟簇 $\mathcal J_n$ 中的双格给出了单类拓扑表示，并分别对由 $\mathbf J_n$ 生成的簇 $\mathcal V_n$ 中的双格给出了多类拓扑表示。我们的结果提供了一个有趣的例子：簇的多类对偶比拟簇的单类对偶具有更简单的结构。