扩展Belnap 2：对偶范畴的深层研究

双格(bilattices)为同时建模知识与真值提供了代数工具，由 N.D. Belnap 在 1977 年题为《计算机应如何思考》的论文中引入。优先默认双格不仅包含 Belnap 的四个值，即‘真’($t$)、‘假’($f$)、‘矛盾’($\top$)与‘无信息’($\bot$)，还包含索引化的默认值族，用于同时建模知识度与真值。优先默认双格在包括人工智能在内的多个领域有应用。在配套论文中，我们引入了新的优先默认双格族 $\mathbf J_n$（$n \in \omega$），其中 $\mathbf J_0$ 为 Belnap 的开创性例子。我们给出了由 $\mathbf J_n$ 生成的簇 $\mathcal V_n$ 的对偶性，其对偶范畴 $\mathcal X_n$ 的对象为多排序拓扑结构。本文深入研究了该对偶范畴。我们给出了范畴 $\mathcal X_n$ 的公理化，并证明其同构于单排序拓扑结构范畴 $\mathcal Y_n$。$\mathcal Y_n$ 的对象为赋予连续收缩的 Priestley 空间，其中序具有自然分级。我们展示了如何通过代数在 $\mathcal Y_n$ 中的对偶来构造 $\mathcal V_n$ 中代数的有界分配格的 Priestley 对偶；作为一个应用，我们证明了自由代数 $\mathbf F_{\mathcal V_n}(1)$ 的大小由 $n$ 的 6 次多项式给出。