通过 Gross-Hopkins 对偶性研究的奇异 Picard 群与色消失猜想

在本文中，我们研究当 $2p-1=h^2$ 时的奇异 $K(h)$-局部 Picard 群 $\kappa_h$，以及当 $p-1$ 不整除 $h$ 时的同调色消失猜想。主要思想是运用 Gross-Hopkins 对偶性将这两个问题关联到色同伦论中的某些希腊字母元素计算。Miller-Ravenel-Wilson 的经典结果随后表明，高度 $3$ 和素数 $5$ 处的奇异元素不被类型-$2$ 复形 $V(1)$ 所检测。对于同调消失猜想，我们证明其在模不变素理想 $I_{h-1}$ 下成立。我们进一步表明，消失猜想的这一特例蕴含在高度 $3$ 和素数 $5$ 处奇异 Picard 群 $\kappa_h$ 为零。这两个结果均可视为证明素数 $5$ 处 $\kappa_3$ 消失的第一步。