时间齐次 Itô-SDE 的存在性、唯一性与遍历性质：具有局部可积漂移项和 Sobolev 扩散系数
概率论
2022-01-21 v4
摘要
利用 L^p 空间中的椭圆和抛物型正则性结果以及广义 Dirichlet 形式理论，我们为每个起始点构造了 SDE 在 R^d 中直到其爆炸时间的弱解，满足以下条件。对于任意但固定的 p>d，扩散系数 A=(a_{ij})_{1≤i,j≤d} 是局部一致严格椭圆的，函数 a_{ij} 属于 H^{1,p}_{loc}(R^d)，漂移系数 G=(g_1,...,g_d) 由函数 g_i ∈ L^p_{loc}(R^d) 组成。该解由构造来源于 Hunt 过程，其在 R^d 的单点紧化上具有连续样本路径，且根据已知的局部适定性结果，对应的 SDE 在爆炸时间前逐路径唯一。仅在给定假设下，我们证明了其转移函数在 L^1(R^d,m)+L^∞(R^d,m) 上的不可约性和强 Feller 性质，以及其解析子在 L^q(R^d,m)+L^∞(R^d,m) 上的强 Feller 性质，其中 q=dp/(d+p)∈(d/2,p/2)，两者均包含经典强 Feller 性质。我们给出了矩不等式和类经典的非爆炸判据，这些导致了在推测为最优的一般非爆炸条件下直到无穷远的逐路径唯一性结果。我们进一步给出了复现性和遍历性的显式条件，包括不变概率测度的存在性和唯一性。
引用
@article{arxiv.1708.01152,
title = {Existence, uniqueness and ergodic properties for time-homogeneous It\^o-SDEs with locally integrable drifts and Sobolev diffusion coefficients},
author = {Haesung Lee and Gerald Trutnau},
journal= {arXiv preprint arXiv:1708.01152},
year = {2022}
}
备注
Further revised version improved explanations and expressions, correction of typos