类型 $\mathbb{B}$、$\mathbb{C}$ 和 $\mathbb{D}$ 海藻李代数中 Richardson 元素的存在性

海藻李代数是约化李代数的抛物子代数的自然推广。著名的Richardson定理指出，抛物群在李代数的幂零根中的伴随作用有一个稠密开轨道 \cite{richardson}。我们将开轨道中的元素称为Richardson元素。在 \cite{JSY} 中，我们与Yu一起推广了Richardson定理，并证明了类型 $\mathbb{A}$ 的海藻李代数存在Richardson元素。利用GAP，我们验证了除 $\mathbb{E}_8$ 外所有例外单李代数都存在Richardson元素，而在 $\mathbb{E}_8$ 中我们找到了一个反例。在本文中，我们通过证明任意类型 $\mathbb{B}$、$\mathbb{C}$ 和 $\mathbb{D}$ 的海藻李代数都存在Richardson元素，完成了有限型海藻Richardson元素的研究。通过将海藻分解为子代数之和并分析其稳定子，我们得到了Richardson元素存在的充分条件。随后利用箭图表示论验证了该充分条件。更确切地说，利用类型 $\mathbb{A}$ 中Richardson元素的范畴构造，我们证明了除两种特殊情况外（我们给出了直接证明），所有类型 $\mathbb{B}$、$\mathbb{C}$ 和 $\mathbb{D}$ 的海藻都满足该充分条件。