精确可解的非谐振子、退化正交多项式与 Painlevé II 方程

本文探讨 Shapiro 与 Tater 关于复平面上两组点相似性的猜想：一组是使得具有特定边界条件的复平面四次非谐振子 $$\frac{{\rm d}^2 y}{{\rm d}x^2} - ( x^4 + tx^2 + 2Jx )y = \Lambda y,$$ 谱出现重特征值的 $t\in \mathbb{C}$ 的取值；另一组是 Vorob'ev-Yablonskii 多项式的零点，即第二 Painlevé 方程有理解的极点。在此过程中，我们指出了非谐振子问题与某些退化正交多项式之间令人惊讶而深刻的联系。