具有 Dirichlet 边界条件的受限不可压缩 Navier--Stokes 方程精确解

本文揭示了如何获得一个对所有遵循 Navier--Stokes 方程演化的无散度速度场都必须成立的关系。然而，检验该关系是否被违背需要巨大的计算量。为规避此问题，我们提出对无散度 Navier--Stokes 场附加一个拟设。这提供了六个可调节的自由度。当它们被适当调节时，对于 $\mathbb{R}^3$ 中的体积以及 $t\in[t_0,\infty)$，可以找到速度场的有限 $L^2$ 范数。特别地，当场分量 $u_i$ 是在 $\mathbb{R}^3\times[t_0,\infty)$ 上满足 Dirichlet 边界条件的 $C^3$ 类函数时，系统的动能是有界的。这一附加关系使我们得出结论：具有无滑移边界条件的 Navier--Stokes 方程不具有唯一解。此外，在给定外力下，动能可以精确计算为时间的函数。