Catalan 数 $C(2,050,572,903)$ 的精确计算

本文提出了一种两阶段算法，用于以前所未有的规模精确计算 Catalan 数。该方法通过计算 $n = 2,050,572,903$ 时的 $C(n)$ 进行演示，得出具有目标 $1,234,567,890$ 位十进制数字的结果。为规避计算大阶乘时的内存限制，该算法完全在素数指数域内运行。阶段1采用并行分段筛法枚举不超过 $2n$ 的素数，并应用 Legendre 公式确定 $C(n)$ 的精确素数分解。素数按指数分组并序列化至磁盘。阶段2利用具有分块功能的内存高效平衡乘积树重建最终整数。该算法的时间复杂度为 $\Theta(n(\log n)^2)$ 次位运算，空间复杂度为 $\Theta(n \log n)$ 位。该结果代表了迄今为止计算出的最大精确 Catalan 数。报告了单机执行的统计性能，并讨论了验证策略——包括模检查与 SHA-256 哈希验证。提供了源代码与分解数据以确保可复现性。