论矩阵链加括号方式：皆有用，鲜必要

由 $n$ 个矩阵构成的矩阵链的乘积可按 $C_{n-1}$（卡特兰数）种不同的方式计算，每种方式由链的一种不同加括号方式确定。选择使代价最小的加括号方式的最佳算法运行时间为 $O(n \log n)$。近似算法运行时间为 $O(n)$，并找到保证在最优值某一因子内的解；目前最佳因子为 $1.155$。在本文中，我们首先证明刻画不同加括号方式的两个结果，然后利用这些结果改进已知最佳近似算法。具体而言，我们证明 (a) 每种加括号方式在问题域中某处是最优的，且 (b) 恰有 $n + 1$ 种加括号方式是必要的，因为移除其中任何一种都会对无穷多个问题实例造成无界惩罚。通过聚焦于必要加括号方式，我们改进了已知最佳近似算法，并表明近似因子至多为 $1.143$。