梯形图、向上三角剖分与素卡特兰数
计算几何
2016-02-29 v2 组合数学
摘要
d维卡特兰数构成一个著名的数列，用于计数大小为d的字母表上的平衡括号表达式。本文中，我们引入并研究了所谓的d维素卡特兰数，该数列仅计数不可分解平衡括号表达式的一个非常特定的子集。我们进一步引入了无交叉几何图（如三角剖分或无交叉完美匹配）的梯形图概念。本质上，这种图是通过将所讨论的几何图以其梯形分解进行增广，然后忽略各个顶点的精确坐标，同时保留顶点与线段之间的垂直可见性关系而获得的。我们注意到，三角剖分的梯形图与抽象向上三角剖分密切相关。我们研究了在(i)完美匹配和(ii)三角剖分这两种情况下此类图的数量。我们给出了建立与3维（素）卡特兰数关系的双射证明。这使我们能够精确地确定相应的指数增长率分别为(i) 5.196^n 和 (ii) 23.459^n（底数四舍五入至3位小数）。最后，我们给出了给定点集上梯形图的最大嵌入数的下界。
引用
@article{arxiv.1602.07235,
title = {Trapezoidal Diagrams, Upward Triangulations, and Prime Catalan Numbers},
author = {Manuel Wettstein},
journal= {arXiv preprint arXiv:1602.07235},
year = {2016}
}
备注
Added affiliation. Fixed typos