高斯分布以外的精确仿射条件化：ensemble Kalman 更新的唯一特征描述

ensemble Kalman 过滤器的分析步骤称为 ensemble Kalman 更新 (EnKU)，广泛用于近似逆问题和数据同化中的后验分布。EnKU 通过仿射映射 $L^{\mathrm{EnKU}}_{\pi,y_\star}(x,y)$ 实现后验分布 $\pi_{X\mid Y=y_\star}$ 的推送，该映射仅依赖于 $\pi$ 的协方差结构和观测值 $y_\star$。虽然 EnKU 在均值场中的高斯 $\pi$ 中可得到确切后验，但这一属性本身并不能唯一确定 EnKU。事实上，存在无数个仿射映射 $L_{\pi, y_\star}$ 能实现此精确条件化。在本文中，我们在所有此类仿射映射中提供了 EnKU 的新颖特征描述。我们首先穷尽地描述了 EnKU 能实现确切条件化的联合分布集合 ${E}^{\mathrm{EnKU}}$，表明其范围远大于高斯分布。随后我们表明，除 ${E}^{\mathrm{EnKU}}$ 中少数高度对称分布外，EnKU 是唯一的确切仿射条件化映射。进一步，我们描述了最大可能的分布集合 ${F}$，其中存在分布依赖、弱观测依赖的仿射映射，一类自然包含 EnKU 的传输。我们表明 ${F}={E}^{\mathrm{EnKU}}\cup{S}_{\mathrm{nl-dec}}$，其中 ${S}_{\mathrm{nl-dec}}$ 为小对称类，表明在高斯设置之外的仿射条件化中，EnKU 的确切集合基本上是最大的。