基于二次几何近似与闭式表达式求解C2光滑曲面上的奇异与近奇异积分
数值分析
2026-01-21 v2 数值分析
摘要
大多数Fredholm积分方程都涉及弱奇异核函数的一维积分。一旦积分域离散化为平三角形元素，这些弱奇异核函数就变为强奇异或近奇异。当核函数为Green's函数时，常用的方法包括Duffy变换、极坐标闭解析公式，以及奇异抽取。然而，这些方法难以推广到Green's函数的法向导数，因为这些函数在三角形元素上表现为强奇异。我们提供了在三维空间中离散化为三角形元素的光滑曲面上，对Green's函数及其法向导数进行积分的方法，这些方法适用于许多常见的微分算子。对于涉及Green's函数法向导数的强奇异积分，我们引入了对三角形上Green's函数导数的更精细的近似方法。该方法利用积分真实曲面的几何信息，通过推前映射来近似原积分在真实域上的积分。这比简单地将奇异积分设为零更好，而且比自适应细化方法更快。我们提供了一个针对三角形的显式计算算法，并在附录中给出算法所需的必要解析公式。
引用
@article{arxiv.2502.11907,
title = {Evaluating singular and near-singular integrals on $C^2$ smooth surfaces with quadratic geometric approximation and closed form expressions},
author = {Andrew Zheng and Spyros Alexakis and Adam R Stinchcombe},
journal= {arXiv preprint arXiv:2502.11907},
year = {2026}
}
备注
48 pages, 10 figures. The appendix is 9 pages of formulas