具有对角连接概率的方格上的欧拉数与渗流阈值及对岛-大陆相变的重新审视

我们报告了由白位点填充、随机被黑位点占据（概率为 $p$）的方格的一些新颖性质。我们根据以下规则考虑直至次近邻的连接。共享边的位点，即同类型的最近邻，始终被认为属于同一团簇。一对共享角的黑位点，即次近邻，可能与一对共享角的白位点形成“交叉连接”。在这种情况下，将连接状态同时分配给两对位点，会使系统变为准三维，具有交织的黑团簇和白团簇。通过考虑黑对角对以概率 $q$ 连接，可以保留系统的二维特性，在这种情况下，交叉的白位点对被视为不相连。如果黑位点对不相连，则白位点对被视为相连。在这种场景下，我们研究了 随着 $q$ 变化的欧拉数 $\chi(p) \ [=N_B(p)-N_W(p)]$ 对 $p$ 图， 渗流阈值随 $q$ 的变化，以及当 $q=0.5$ 时黑团簇尺寸随 $p$ 的分布。这里 $N_B$ 是在某一概率 $p$ 下的黑团簇数，$N_W$ 是白团簇数。我们还讨论了早先提出的“岛-大陆”相变（Khatun, T., Dutta, T. & Tarafdar, S. Eur. Phys. J. B (2017) 90: 213），并在数学上表明该相变实际上并非临界相变，且不满足有限尺寸标度。本文还从数学上解释了为什么尺寸为 1 的团簇总是数量最多的。