平稳图过程中的遍历性：大数弱定律

对于时间中的平稳信号，大数弱定律（WLLN）指出，当考虑 N 个信号分量时，集平均与实现平均在彼此相差 e 以内的概率量级为 O(1/Ne^2)。本文引入的图大数弱定律表明，对于定义在图上的信号，本质上同样成立。然而，平稳性、集平均与实现平均的概念有所不同。近期论文将图平稳信号定义为满足某种图扩散不变性的信号。图平稳信号的集平均不是常数，而是一个随节点变化的信号，其结构依赖于图的谱特性。本文中图信号的实现平均定义为局部信号值与其邻节点信号值的连续加权平均的平均值。图大数弱定律表明，在至少某些节点上，这两个随节点变化的信号以量级为 O(1/Ne^2) 的概率彼此相差在 e 以内。对于平稳时间信号，实现平均不仅是集平均的一致估计量，而且在均方误差（MSE）意义上最优。图信号则不然。本文还给出了最优 MSE 图滤波器设计。最后给出一个关于高斯随机场均值估计的示例问题。