等变量子上同调与杨 - 巴克斯特代数

关于偏旗簇的量子上同调有两个引人注目的陈述。第一个将量子上同调与李代数的仿射化和仿射格拉斯曼流形的同调联系起来，第二个将其与箭图簇的几何联系起来。与仿射格拉斯曼流形的联系最初由 Peterson 在未发表的工作中讨论，随后由 Lam 和 Shimozono 证明。第二个进展基于 Nekrasov、Shatashvili 以及 Maulik、Okounkov 近期的工作，这些工作将 Nakajima 簇的量子上同调与可积系统和量子群联系起来。在本文中，我们针对最简单的情况——格拉斯曼流形，探讨了这两种方法之间的关系。我们将称为恶性行走者（vicious walkers）和 osculating 行走者的可积系统定义扩展到等变情形，并表明这些模型在仿射幂零 Hecke 环的特定表示中具有简单的表达式。我们将此表示与 Kostant 和 Kumar 引入并随后被 Peterson 用于其 Schubert 演算方法的表示进行了比较。我们揭示了基于杨 - 巴克斯特代数的底层量子群结构，并将它们与 Schur-Weyl 对偶性联系起来。我们还推导了等变 Gromov-Witten 不变量的新组合结果，例如一个显式的行列式公式。