含恰好一次 123 模式的词枚举

与避免模式的词以及恰好含一次 $123$ 模式的排列相关的枚举问题已被充分研究。然而，枚举恰好含一次 123 模式的词这一问题尚属新颖，将是本文的重点。此前，Doron Zeilberger 给出了 Alexander Burstein 对 John Noonan 定理（恰有一个 $321$ 模式的排列数为 $\frac{3}{n} \binom{2n}{n+3}$）的组合证明的简写版。令人惊讶的是，类似方法可直接适用于词。我们得以用此方法找到枚举恰有一个 $123$ 模式的词的公式。进一步受 Nathaniel Shar 与 Zeilberger 关于枚举各字母出现 $r$ 次的避 123 词生成函数的论文启发，我们考察了各字母出现 $r$ 次且恰有一个 $123$ 模式的词的生成函数所满足的代数方程。