关于多项式高色度纯配对

设T为一森林。我们研究无T作为诱导子图的图中多项式高色度纯配对(T-free图的另一种说法)，并将其应用于多项式Gyárfás-Sumner猜想。除了重新证明文献中几个已知结果外，我们推导出：•若T=P5为具有五个顶点的路径，则每个T-free图G的clique数w≥2都包含一个完全配对(A,B)，其中χ(A)≥w^{-d}χ(G)且χ(B)≥2^{-d}χ(G)，其中d为某个普适常数≥1。该证明利用了P5-free图的最新Erd\H{o}s-Hajn结果。通过经典Gyárfás路径论证，这种“多项式与线性高χ完全配对”结果可被视为P5-free图的多项式Gyárfás-Sumner猜想的进一步证据。特别是，它暗示χ(G)≤w^{O(log w/log log w)}，从而渐近改进了Scott、Seymour和Spirkl的界限χ(G)≤w^{log w}。•若T和一把刷子满足多项式Gyárfás-Sumner猜想，则它们的不相交并积也满足该猜想。将Chudnovsky、Scott、Seymour和Spirkl的早期结果与Scott、Seymour和Spirkl的结果统一起来，这给出了新的T实例，其中猜想成立。