基于能量的傅里叶-伽辽金法与有限元法比较

傅里叶-伽辽金法（简称 FFTH）在数值均匀化中日益流行，因为它能处理具有巨大自由度数的问题。由于该方法在线性求解器中结合了快速傅里叶变换（FFT），人们认为与传统的有限元法（FEM）相比，它在计算和内存需求方面有所改进。在此，我们利用局部场的能量范数对这两种方法进行系统比较，该范数具有清晰的物理解释，即均匀化性质的误差。这使得在相同近似精度水平下比较内存和计算需求成为可能。我们表明，这些方法的有效性依赖于解的光滑性（正则性），从而依赖于材料系数。由于其近似特性，FEM 在材料系数存在跳跃的问题中优于 FFTH，而在材料系数在空间中连续变化的情况下则观察到模棱两可的结果。FFTH 受益于线性系统的良好条件数，与自由度数无关，但通常需要更多的自由度才能达到相同的近似精度。对于其他基于 FFT 的格式、非线性问题以及对偶问题（后者在 FEM 中需要特殊处理，而在 FFTH 中则不需要），还需要更多研究。