正特征环面上的自同态：熵与 zeta 函数

设 $F$ 为阶 $q$、特征 $p$ 的有限域。令 $\mathbb{Z}_F=F[t]$，$\mathbb{Q}_F=F(t)$，$\mathbb{R}_F=F((1/t))$ 赋予以 $1/t$ 为一致元的离散赋值，并令 $\mathbb{T}_F=\mathbb{R}_F/\mathbb{Z}_F$，其具有紧阿贝尔群结构。设 $d$ 为正整数，$A$ 为元素在 $\mathbb{Z}_F$ 中且行列式非零的 $d\times d$ 矩阵。乘-$A$ 映射是 $\mathbb{T}_F^d$ 上的满射自同态。首先，我们计算该自同态的熵；结果与论证类似于经典情形 $\mathbb{T}^d=\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$。其次也是最重要的，我们解决了所有此类自同态的 Artin-Mazur zeta 函数的代数性问题。作为主结果的推论，我们给出了当 zeta 函数代数时与熵相关的完整刻画与显式公式。