随机拟蒙特卡洛的经验Bernstein和赌注置信区间

随机拟蒙特卡洛(RQMC)方法通过在$n$个等分布点处对被积函数进行采样来估计随机变量的均值。对于加扰数字网，所得方差通常为$\tilde O(n^{-\theta})$，其中$\theta\in[1,3]$取决于被积函数的光滑性，$\tilde O$忽略对数因子。虽然RQMC可以比普通蒙特卡洛(MC)精确得多，但为RQMC估计获得置信区间仍然困难。我们研究了Waudby-Smith和Ramdas (2024)的一些经验Bernstein置信区间(EBCI)和对冲赌注置信区间(HBCI)，当感兴趣的随机变量受已知界限约束时。当有$N$个被积函数评估划分为$R$个独立重复，每个重复$n=N/R$个RQMC点，且RQMC方差为$\Theta(n^{-\theta})$时，则最小化Bennett置信区间宽度的oracle会选择$n =\Theta(N^{1/(\theta+1)})$。所得区间的宽度为$\Theta(N^{-\theta/(\theta+1)})$。我们的实证研究表明，$n$的最优值随$N$缓慢增长，HBCI区间通常比EBCI区间更窄，且HBCI的最优$n$值等于或小于oracle的值。