随机三次图中圆的涌现：一个统计模型

我们考虑一种欧几里得量子引力的形式离散化，它由 $3$-正则图的统计模型定义，并利用了 Ollivier 曲率——一种 Ricci 曲率的粗粒度类比。数值分析表明，该模型的 Hausdorff 维数与谱维数在经典-热力学联合极限下趋近于 $1$，并我们认为该模型的标度极限是半径为 $r$ 的圆 $S^1_r$。在温和的运动学约束下，这些断言可以用完全的数学严格性证明：确切地说，可以证明对于围长至少为 $4$ 的 $3$-正则图，任何作用极小化构型序列都在 Gromov-Hausdorff 意义下收敛于 $S^1_r$。我们还通过有限尺寸效应分析给出了存在二阶相变的强证据。这一本质上可解的涌现一维几何玩具模型，旨在作为随机平坦面非微扰定义的一个可控范式。