维度 $d\leqslant 4$ 下马尔可夫矩阵的嵌入

马尔可夫矩阵在马尔可夫半群中的嵌入问题是一个经典问题，近年来因系统发育与群体遗传学的需求而重新获得大量关注与进展。本文给出维度 $d\leqslant 4$ 的论述，包括对 $d=3$ 情形的完整且简化的处理，并以系统化的方式推导结果，兼顾潜在应用。进一步，我们重新考量对应时非齐次马尔可夫链问题的设定，由于转移速率不必随时间恒定，该设定对真实应用必不可少。这种更一般嵌入的额外情形出现于任意 $d\geqslant 3$。我们回顾已知的 $d=3$ 情形，并描述面向未来 $d=4$ 研究工作的设定。