具有盒状扰动的条带中诺伊曼问题的嵌入特征值

我们考虑由直单位条带通过尺寸为 $2l\times\varepsilon$ 的低盒状扰动得到的声学波导 $\Pi_{l}^{\varepsilon}$ 中拉普拉斯算子的谱诺伊曼问题，其中 $\varepsilon>0$ 为小参数。我们证明存在长度参数 $l_{k}^{\varepsilon}=\pi k+O\left( \varepsilon\right)$（任意 $k=1,2,3,...$），使得波导 $\Pi_{l_{k}^{\varepsilon}}^{\varepsilon }$ 支持一个具有特征值 $\lambda_{k}^{\varepsilon}$ 的俘获模，该特征值嵌入连续谱中。该特征值在区间 $\left[ 0,\pi^{2}\right]$ 内唯一，且在 $l\neq l_{k}^{\varepsilon}$ 情形下不存在。此嵌入特征值的检测基于一个涉及人工对象——增广散射矩阵——的俘获模判据。主要技术困难由扰动壁 $\partial\Pi_{l}^{\varepsilon}$ 的角点引起，我们讨论了针对其他分段光滑边界的可用推广。