$\ell^2$-同调与平面图

Kuratowksi 在其 1930 年的论文中对平面图进行了分类，证明了一个有限图 $\Gamma$ 是平面图当且仅当它不包含同胚于 $K_5$（5 个顶点的完全图）或 $K_{3,3}$（6 个顶点的完全二部图）的子图。Davis 和 Okun 在其 2001 年的论文中指出，$K_{3,3}$ 图可被理解为直角 Coxeter 系的 nerve，并利用 $\ell^2$-同调的结果证明了该图不是平面图。在本文中，我们采用类似的方法证明 $K_5$ 不是平面图。