Profinite 群的子群初等性与理论复杂性

尽管 $S_\infty$（$\mathbb{N}$ 上所有置换构成的群）的基数为连续统，它及其闭子群均可以表示为通过可数树的路径集合。能够以有限分支树这种方式表示的 $S_\infty$ 的子群恰好是 profinite 群。我们使用这些树表示来寻找 $S_\infty$ 的 profinite 子群存在性理论复杂度的上界，并证明这些上界的精确性。这些复杂性结果使我们能够区分出一类简单的 profinite 群子类，即具有 *轨道独立性* 的群，对于这类群我们找到了整个一阶理论复杂度的上界。此外，给定 $S_\infty$ 的一个 profinite 子群 $G$ 和一个 Turing ideal $I$，我们定义 $G_I$ 为 $G$ 中 Turing degree 属于 $I$ 的元素集合。我们考察了 $G_I$ 在何种程度及何种条件下将成为 $G$ 的初等子群。特别地，我们构造了一个 profinite 群，其可计算元素构成的子群即使对于存在性公式也不是初等的。