由量子行走诱导的电路

我们考虑在有限内部图上添加无限长尾图的 Szegedy 行走。我们假设在这些尾图上，动力学由自由量子行走给出。我们设定 $\ell^\infty$ 类初始态，使得内部图在每个时间步从尾图接收时间无关的输入，记为 $\boldsymbol{\alpha}_{in}$。我们证明，Szegedy 行走对输入（即长时间极限下从内部图到尾图的输出，记为 $\boldsymbol{\beta}_{out}$）的响应，根据底层随机行走的可逆性而发生剧烈变化。若底层随机行走可逆，我们有 $\boldsymbol{\beta}_{out}=\mathrm{Sz}(\boldsymbol{m}_{\delta E})\boldsymbol{\alpha}_{in}$，其中酉矩阵 $\mathrm{Sz}(\boldsymbol{m}_{\delta E})$ 是相对于由内部图边界 $\delta E$ 确定的单位向量 $\boldsymbol{m}_{\delta E}$ 的反射矩阵。此时，将内部图视为一个顶点的全局动力学在长时间极限下恢复了 Szegedy 行走的局部动力学。此外，若 Szegedy 行走的底层随机行走可逆，则我们得到定态由可逆测度与由内部图和随机行走可逆测度所确定的电路上的电流之线性组合表示。另一方面，若底层随机行走不可逆，则酉矩阵仅为相位翻转；即 $\boldsymbol{\beta}_{out}=-\boldsymbol{\alpha}_{in}$，且定态类似于电流但满足不同类型的基尔霍夫定律。