网格畸变能量 Hessian 的特征空间

网格畸变优化是一个热门研究课题，在计算机图形学中有广泛应用，包括几何建模、变分形状插值、UV 参数化、弹塑性仿真等。近年来，人们提出了许多求解器以高效求解该非线性优化问题，其中投影牛顿法已被证明具有最佳收敛速率，并在二维和三维应用中均表现良好。传统牛顿法受限于局部能量近似的病态条件和不确定性。投影牛顿法中的一个关键步骤是通过将能量 Hessian 投影到对称正定（SPD）锥上来修复该问题，从而保证搜索方向始终指向局部能量下降。该步骤依赖于耗时的单元 Hessian 特征分解，此前已有若干工作探讨如何获得尽可能对角化的共轭形式。在本报告中，我们给出了基于主拉伸定义的畸变能量（最一般的表示）的 Hessian 特征系统的解析形式。与现有的投影牛顿对角化方法相比，我们的公式更为通用，因为它不要求能量可由张量不变量表示。在本报告中，我们仅给出三维情形的推导，其向二维情形的推广是直接的。