多项式时间内某些 $P_6$-免图子类的高效支配

设 $G$ 为一个有限无向图。一个顶点 {\em 支配} 其自身及其在 $G$ 中的所有邻居。如果 $G$ 的每个顶点恰好被 $D$ 中的一个顶点支配，则顶点集 $D$ 是 $G$ 的一个 {\em 高效支配集}（简称 \emph{e.d.}）。询问 $G$ 中是否存在 e.d. 的 \emph{高效支配}（ED）问题，已知即使是对于非常受限的图类（如 $P_7$-免弦图）也是 \NP-完全的。图 $G$ 上的 ED 问题可以归约为 $G$ 的平方图上的最大权独立集（MWIS）问题。$P_6$-免图的 ED 问题复杂性是一个开放问题，甚至对于 $P_6$-免弦图这一子类也是如此。在本文中，我们证明了具有 e.d. 的 $P_6$-免弦图的平方图是弦图；这一结论甚至适用于更大的（$P_6$, house, hole, domino）-免图类。这意味着 ED/WeightedED 对于（$P_6$, house, hole, domino）-免图（特别是 $P_6$-免弦图）可在多项式时间内求解。此外，基于我们关于具有 e.d. 的 $P_6$-免图的平方图是 hole-free 的结果以及关于奇反洞的一些性质，我们证明了具有 e.d. 的（$P_6$, house）-免图（分别为（$P_6$, bull）-免图）的平方图是完美图。这意味着 ED/WeightedED 对于（$P_6$, house）-免图和（$P_6$, bull）-免图可在多项式时间内求解（（$P_6$, house, hole, domino）-免图的时间界限优于（$P_6$, house）-免图）。$P_6$-免图的 ED 问题复杂性仍然是一个开放问题。