AT-free图与平面图中配对支配的复杂性

对于图$G=(V,E)$，顶点集$V$的子集$D$称为$G$的支配集，若每个不在$D$中的顶点都至少与$D$中的一个顶点相邻。对于无孤立顶点的图$G$，其支配集$D$若满足$G[D]$（即$G$中由$D$诱导的子图）存在完美匹配，则称为配对支配集（PD-set）。Min-PD问题要求计算基数最小的PD-set。即使当$G$属于受限图类（如二部图、弦图等）时，Min-PD问题的判定版本仍是NP完全的。在积极的一面，该问题在许多图类上可高效求解，包括区间图、强弦图、置换图等。本文中，我们研究该问题在AT-free图和平面图中的复杂性。AT-free图类包含余可比图、置换图、梯形图和区间图作为子类。我们提出一种多项式时间算法来计算AT-free图中的最小PD-set。此外，我们还给出了该问题在AT-free图中的线性时间$2$-近似算法。进一步，我们证明了该问题的判定版本在平面图中是NP完全的，这回答了Lin等人（见Theor. Comput. Sci., $591 (2015): 99-105$ 与 Algorithmica, $82 (2020) :2809-2840$）提出的一个开放问题。