离散脆性损伤模型中振荡尺度的效应

本文关注于二维离散情境下线性弹性力学中脆性损伤变分模型序列的渐近分析。我们考虑 Francfort 和 Marigo 脆性损伤模型的离散版本，总能量限制在连续分段仿射位移上；在不同尺度 regime 下，损伤区域集中于消失的小集合，同时损伤材料的刚度退化至 $0$。在此情境下，空间离散化的收敛、损伤区域的集中以及损伤相弹性性能的衰减会根据所考察的尺度律同时以非平凡方式相互竞争。网格尺寸最终成为分析中的关键特征，因为它导致可接受位移的空间振荡的最低尺度。本研究的动机来自于 [2] 中进行的数值调查——Allaire-Jouve-Van Goethem 证明了在损伤集合的任意小测度上施加刚度衰减似乎会导致类似脆性断裂的集中现象；也来自于 [10] 中的静力学分析——Babadjian-Iurlano-Rindler 对该观察进行严格的渐近分析，针对连续空间中的总能量 $\Gamma$-收敛。令人惊讶的是，他们发现脆裂类型模型在渐近上并未得到获得，从而引出关于该模型中空间离散化尺度对有效模型依赖性的疑问。这就是本文要解决的问题：我们证明只有在网格尺寸与损伤区域集中程度同阶的尺度 regime 下，才会捕获到集中现象。