六边形的回响：正多边形内六边形堆积的残迹

基于我们所进行的数值模拟，我们提供了证据：对于具有 $\sigma= 6j$ 条边（其中 $j=2,3,\dots$）的正多边形，适当大小的 $N(k)=3 k (k+1)+1$（其中 $k=1,2,\dots$）个全等圆盘可以以高度对称的方式很好地堆积于这些多边形内，且在 $N$ 足够小时显然具有最大密度。这些构型在 $\pi/3$ 的旋转下不变，并且与正多边形中完美六边形堆积的构型以及 Graham 和 Lubachevsky 很久以前在圆盘中发现的非曲六边形堆积（CHP）构型密切相关。我们探索的基础是我们设计的算法，这些算法在生成 CHP 以及正多边形内更一般的构型时非常高效。我们利用这些算法为不同的正多边形和圆盘数生成了大量 CHP 构型；对这些结果的仔细研究使得我们能够完全刻画 CHP 构型的一般性质，并设计出一种确定性算法，一旦指定适当的输入（“DNA”），就能完整构建给定的 CHP 构型。我们的分析表明，对于给定的 $N$，CHP 构型在堆积分数上是高度简并的，并且可以用 $k$（壳层数）、DNA 本身的构建块以及基本域中顶点数（由于对称性，我们处理整个域的 $1/6$）显式计算。借助我们的确定性算法，我们能够构建具有 $k$ 个壳层多边形的所有 CHP 构型。